Μάθημα 10

Μαθηματικά

Αυτό το μάθημα παρουσιάζει τη λειτουργία μαθηματικών του LaTeX και πώς μπορείτε να εισάγετε τύπους ενσωματωμένους στο κείμενο ή σε ξεχωριστή γραμμή, τις επεκτάσεις που παρέχονται από το πακέτο amsmath, και το πώς μπορείτε να αλλάζετε τη γραμματοσειρά των μαθηματικών.

Η στοιχειοθεσία σύνθετων μαθηματικών εκφράσεων είναι μία από τις σημαντικότερες δυνατότητες του LaTeX. Μπορείτε να εισάγετε μαθηματικά με έναν εύλογο τρόπο σε αυτό που ονομάζεται «λειτουργία μαθηματικών».

Λειτουργία μαθηματικών

Στην λειτουργία μαθηματικών, τα κενά διαστήματα αγνοούνται και η σωστή απόσταση μεταξύ χαρακτήρων (σχεδόν πάντα) εφαρμόζεται αυτόματα.

Υπάρχουν δύο μορφές λειτουργίας μαθηματικών:

• ενσωματωμένα στο κείμενο (inline)
• σε ξεχωριστή γραμμή (display)

\documentclass{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\begin{document}
A sentence with inline mathematics: $y = mx + c$.
A second sentence with inline mathematics: $5^{2}=3^{2}+4^{2}$.


A second paragraph containing display math.
\[
  y = mx + c
\]
See how the paragraph continues after the display.
\end{document}

Μπορεί να δείτε εισαγωγή μαθηματικών εκφράσεων που να μοιάζει με αυτή του LaTeX σε άλλα συστήματα, για παράδειγμα στο σύστημα MathJax για εισαγωγή εξισώσεων σε ιστοσελίδες. Αυτά τα συστήματα συχνά δέχονται μικρές παραλλαγές της σύνταξης του LaTeX, καθώς δεν χρησιμοποιούν πραγματικά το LaTeX για την επεξεργασία τους.

Όλα τα παραδείγματά μας είναι σωστό LaTeX. Αν δείτε κάτι διαφορετικό σε κάποιο άλλο πλαίσιο, μπορεί να οφείλεται στο ότι εκεί δεν χρησιμοποιείται στην πραγματικότητα το LaTeX.

Μαθηματικά ενσωματωμένα στο κείμενο και μαθηματικοί συμβολισμοί

Όπως μπορείτε να δείτε παραπάνω, η λειτουργία μαθηματικών ενσωματωμένων στο κείμενο σημειώνεται χρησιμοποιώντας ένα ζευγάρι συμβόλων δολαρίου ($...$). Μπορεί επίσης να σημειωθεί με \( ... \). Απλές εκφράσεις εισάγονται χωρίς καμία ειδική σήμανση, και μπορείτε να δείτε ότι τα διάφορα στοιχεία είναι σε σωστές αποστάσεις και τα γράμματα είναι με πλάγια γραμματοσειρά.

Η λειτουργία μαθηματικών ενσωματωμένων στο κείμενο περιορίζει το ύψος της έκφρασης έτσι ώστε, όσο είναι δυνατόν, να μην διαταράσσεται η απόσταση γραμμών της παραγράφου.

Σημειώστε ότι όλα τα μαθηματικά θα πρέπει να σημειώνονται ως μαθηματικά, ακόμη κι αν είναι μεμονωμένοι χαρακτήρες: χρησιμοποιήστε ... $2$ ... και όχι ... 2 ..., διαφορετικά αν, για παράδειγμα, χρειαστείτε τον αρνητικό αριθμό και χρησιμοποιήσετε μαθηματικά για να λάβετε το αρνητικό πρόσημο, ... $-2$ ..., μπορεί να χρησιμοποιηθεί διαφορετική γραμματοσειρά από αυτή του απλού κειμένου για τα ψηφία (ανάλογα με τον τύπο εγγράφου). Αντίθετα, να είστε προσεκτικοί με μαθηματικά σύμβολα που εμφανίζονται σε απλό κείμενο που επικολλάτε από άλλες πηγές, όπως νομισματικές τιμές που χρησιμοποιούν το $ ή ονόματα αρχείων που χρησιμοποιούν το _ (τα οποία θα πρέπει να σημειώνονται ως \$ και \_ αντίστοιχα).

Μπορούμε εύκολα να προσθέσουμε εκθέτες και δείκτες: αυτοί σημειώνονται χρησιμοποιώντας ^ και _ αντίστοιχα.

\documentclass{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\begin{document}
Superscripts $a^{b}$ and subscripts $a_{b}$.
\end{document}

(Μπορεί να δείτε παραδείγματα όπου απλοί εκθέτες και δείκτες εισάγονται χωρίς άγκιστρα, αλλά αυτό δεν είναι επίσημη σύνταξη και μπορεί να προκαλέσει προβλήματα· να χρησιμοποιείτε πάντα άγκιστρα για τους εκθέτες και τους δείκτες.)

Υπάρχουν πολλές εντολές ειδικές για τη λειτουργία μαθηματικών. Κάποιες από αυτές είναι αρκετά απλές, όπως \sin και \log για το ημίτονο (sine) και τον λογάριθμο, ή \theta για το ελληνικό γράμμα θ.

\documentclass{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\begin{document}
Some mathematics: $y = 2 \sin \theta^{2}$.
\end{document}

Δεν μπορούμε να καλύψουμε όλες τις συνηθισμένες εντολές μαθηματικών του LaTeX εδώ, όμως υπάρχουν πολλές διαδικτυακές πηγές που τις καταγράφουν. Μπορείτε να αναζητήσετε εντολές για μαθηματικά σύμβολα χρησιμοποιώντας το εργαλείο Detexify.

Μαθηματικά σε ξεχωριστή γραμμή

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ακριβώς τις ίδιες εντολές για εμφάνιση μαθηματικών σε ξεχωριστή γραμμή, όπως και για αυτά που είναι ενσωματωμένα στο κείμενο. Τα μαθηματικά που δίνονται σε ξεχωριστή γραμμή εμφανίζονται από προεπιλογή στο κέντρο της γραμμής. Προορίζονται για μεγαλύτερες εκφράσεις που είναι «μέρος μιας παραγράφου». Σημειώστε ότι τα περιβάλλοντα μαθηματικών σε ξεχωριστή γραμμή δεν επιτρέπουν τον τερματισμό παραγράφου εντός των μαθηματικών, οπότε δεν μπορείτε να έχετε κενές γραμμές στον κώδικα τέτοιων μαθηματικών.

Η παράγραφος θα πρέπει πάντα να ξεκινάει πριν από τα μαθηματικά, επομένως δεν πρέπει να αφήνετε κενή γραμμή πριν από το περιβάλλον μαθηματικών. Αν χρειάζεστε αρκετές γραμμές μαθηματικών, μην χρησιμοποιείτε διαδοχικά περιβάλλοντα μαθηματικών (αυτό δημιουργεί άνισες αποστάσεις μεταξύ τους)· χρησιμοποιήστε ένα από τα περιβάλλοντα μαθηματικών πολλών γραμμών, όπως το align από το πακέτο amsmath που θα περιγράψουμε παρακάτω.

Αυτό είναι ιδιαίτερα χρήσιμο για ολοκληρώματα, για παράδειγμα:

\documentclass{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\begin{document}
A paragraph about a larger equation
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx
\]
\end{document}

Παρατηρήστε εδώ πώς χρησιμοποιείται ο συμβολισμός εκθέτη και δείκτη για να τεθούν τα όρια της ολοκλήρωσης.

Εδώ προσθέσαμε λίγο κενό διάστημα χειροκίνητα: το \, δημιουργεί ένα λεπτό κενό διάστημα πριν το dx. Η μορφοποίηση του διαφορικού τελεστή ποικίλλει: ορισμένοι εκδότες χρησιμοποιούν ένα όρθιο «d» ενώ άλλοι ένα πλάγιο «d». Ένας τρόπος να γράφετε τον κώδικά σας ώστε να μπορείτε να αντιμετωπίσετε και τις δύο περιπτώσεις είναι να δημιουργήσετε μία εντολή \diff την οποία μπορείτε να προσαρμόσετε ανάλογα, για παράδειγμα

\documentclass{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\newcommand{\diff}{\mathop{}\!d}            % For italic
% \newcommand{\diff}{\mathop{}\!\mathrm{d}} % For upright
\begin{document}
A paragraph about a larger equation
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \diff x
\]
\end{document}

Συχνά χρειάζεται οι εξισώσεις να αριθμούνται, κάτι που γίνεται χρησιμοποιώντας το περιβάλλον equation. Ας δοκιμάσουμε το ίδιο παράδειγμα ξανά:

\documentclass{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\begin{document}
A paragraph about a larger equation
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx
\end{equation}
\end{document}

Ο αριθμός της εξίσωσης αυξάνεται αυτόματα και μπορεί να είναι ένας απλός αριθμός, όπως σε αυτό το παράδειγμα, ή μπορεί να προηγείται αυτού ο αριθμός της ενότητας, για παράδειγμα (2.5) για την 5η εξίσωση στην ενότητα 2. Οι λεπτομέρειες της μορφοποίησης καθορίζονται από τον τύπο του εγγράφου και δεν περιγράφονται εδώ.

Το πακέτο amsmath

Οι μαθηματικοί συμβολισμοί είναι πολύ πλούσιοι, και συνεπώς τα εργαλεία που υπάρχουν στον πυρήνα του LaTeX δεν μπορούν να καλύψουν τα πάντα. Το πακέτο amsmath επεκτείνει αυτή την υποστήριξη ώστε να καλύπτονται πολύ περισσότερα. Ο Οδηγός Χρήστη του amsmath περιέχει πολύ περισσότερα παραδείγματα από αυτά που μπορούμε να δείξουμε σε αυτό το μάθημα.

\documentclass{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}

\begin{document}
Solve the following recurrence for $ n,k\geq 0 $:
\begin{align*}
  Q_{n,0} &= 1   \quad Q_{0,k} = [k=0];  \\
  Q_{n,k} &= Q_{n-1,k}+Q_{n-1,k-1}+\binom{n}{k}, \quad\text{for $n$, $k>0$.}
\end{align*}
\end{document}

Το περιβάλλον align* ευθυγραμμίζει τις εξισώσεις στα σύμβολα &, ακριβώς όπως ένας πίνακας. Παρατηρήστε πώς χρησιμοποιήσαμε την εντολή \quad για να εισαγάγουμε λίγο κενό χώρο, και την εντολή \text για να ενθέσουμε κανονικό κείμενο μέσα στη λειτουργία μαθηματικών. Χρησιμοποιήσαμε επίσης άλλη μία εντολή μαθηματικών, την \binom, για τον διωνυμικό συντελεστή.

Παρατηρήστε ότι χρησιμοποιήσαμε το περιβάλλον align*, και η εξίσωση δεν αριθμήθηκε. Τα περισσότερα περιβάλλοντα μαθηματικών αριθμούν τις εξισώσεις, ενώ η παραλλαγή τους με αστέρι (*) απενεργοποιεί την αρίθμηση.

Το πακέτο περιέχει επίσης αρκετά άλλα βολικά περιβάλλοντα, για παράδειγμα για πίνακες.

\documentclass{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
AMS matrices.
\[
\begin{matrix}
a & b & c \\
d & e & f
\end{matrix}
\quad
\begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f
\end{pmatrix}
\quad
\begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f
\end{bmatrix}
\]
\end{document}

Γραμματοσειρές στη λειτουργία μαθηματικών

Αντίθετα από το απλό κείμενο, οι διαφοροποιήσεις της γραμματοσειράς στη λειτουργία μαθηματικών συχνά μεταφέρουν συγκεκριμένο νόημα. Υπάρχει ένα σύνολο εντολών που χρειάζεστε εδώ:

• \mathrm: όρθια γράμματα (roman)
• \mathit: πλάγια γράμματα (italic) με κανονικές αποστάσεις
• \mathbf: έντονα γράμματα (bold)
• \mathsf: χωρίς πατούρες (sans serif)
• \mathtt: σταθερού πλάτους (typewriter)
• \mathbb: γράμματα με διπλή γραμμή (blackboard bold) (παρέχεται από το πακέτο amsfonts)

Κάθε μία από αυτές τις εντολές δέχεται λατινικούς χαρακτήρες ως όρισμα, οπότε για παράδειγμα θα μπορούσαμε να γράψουμε έναν πίνακα ως

\documentclass{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\begin{document}
The matrix $\mathbf{M}$.
\end{document}

Σημειώστε ότι η προεπιλεγμένη πλάγια γραμματοσειρά μαθηματικών τοποθετεί κάποια κενά μεταξύ των γραμμάτων ώστε να μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να δηλώσουν ένα γινόμενο μεταβλητών. Χρησιμοποιήστε την εντολή \mathit για να εμφανίσετε μια λέξη με πλάγια γράμματα.

Οι εντολές αλλαγής γραμματοσειράς \math.. χρησιμοποιούν γραμματοσειρές ειδικές για στοιχειοθεσία μαθηματικών. Κάποιες φορές χρειάζεται να ενθέσετε μία λέξη που αποτελεί μέρος της πρότασης που περιβάλλει τα μαθηματικά και πρέπει να στοιχειοθετηθεί με την τρέχουσα γραμματοσειρά κειμένου. Για αυτό μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την εντολή \text{...} (η οποία παρέχεται από το πακέτο amsmath) ή συγκεκριμένες μορφές γραμματοσειράς όπως \textrm{..}.

\documentclass{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}

$\text{bad use } size  \neq \mathit{size} \neq \mathrm{size} $

\textit{$\text{bad use } size \neq \mathit{size} \neq \mathrm{size} $}

\end{document}

Αν χρειάζεστε να εμφανίσετε άλλα σύμβολα με έντονη γραμματοσειρά, δείτε τις επιπλέον λεπτομέρειες.

Ασκήσεις

Δοκιμάστε βασικά στοιχεία της λειτουργίας μαθηματικών: πάρτε τα παραδείγματα και εναλλάξτε μεταξύ μαθηματικών ενσωματωμένων στο κείμενο και αυτών σε ξεχωριστή γραμμή. Μπορείτε να δείτε διαφορές;

Προσπαθήστε να προσθέσετε άλλα ελληνικά γράμματα, τόσο μικρά όσο και κεφαλαία. Θα πρέπει να μπορείτε να μαντέψετε τις εντολές.

Πειραματιστείτε με τις εντολές αλλαγής γραμματοσειράς: τι συμβαίνει αν προσπαθήσετε να τις ενθέσετε;

Τα μαθηματικά σε ξεχωριστή γραμμή εξ ορισμού στοιχειοθετούνται στο κέντρο της γραμμής· προσπαθήστε να προσθέσετε την παράμετρο [fleqn] (flush left equation) στο τύπο του εγγράφου σε κάποια από τα παραδείγματα για να δείτε μία διαφορετική διάταξη. Ομοίως, οι αριθμοί των εξισώσεων τίθενται συνήθως στα δεξιά. Πειραματιστείτε με την παράμετρο [leqno] (left equation numbers) στον τύπο του εγγράφου.